GermanWikipedia - /page/entry.mu

Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Wendelfläche</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Wendelfläche</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die <b>Wendelfläche</b> oder <b>Helikoide</b> ist eine Fläche aus dem mathematischen Teilgebiet der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>. Sie ist neben der Ebene die einzige <a href="Einfach_zusammenh%C3%A4ngend" class="mw-redirect" title="Einfach zusammenhängend">einfach zusammenhängende</a> <a href="Minimalfl%C3%A4che" title="Minimalfläche">Minimalfläche</a> im 3-dimensionalen <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Parametrisierung">Parametrisierung</h2></div>

<p>Für eine fest gewählte Konstante <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ba126f626d61752f62eaacaf11761a54de4dc84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c>0}" loading="lazy"></span> parametrisiert man die Wendelfläche durch

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=r\cos(\phi )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff1551a79fc9e08fc3456e79d4839059bbdd27fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.17ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=r\cos(\phi )}" loading="lazy"></span></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=r\sin(\phi )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46d0ed3c46c192c0d2fa9f6eaac4bc35aad3425a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.74ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=r\sin(\phi )}" loading="lazy"></span></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=c\phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a089dbf88ea075d4daabcdf1b18681d6735095b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.579ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=c\phi }" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span> alle reellen Werte annehmen, also von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca2608c4b5fd3bffc73585f8c67e379b4e99b6f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\infty }" loading="lazy"></span> bis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy"></span> laufen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Minimalfläche"><span id="Minimalfl.C3.A4che"></span>Minimalfläche</h2></div>

<p>Die <a href="Hauptkr%C3%BCmmung" title="Hauptkrümmung">Hauptkrümmungen</a> der Wendelfläche in dem den Parametern <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,\phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,\phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc47825a355ffc77f7d4b690efad99bb56fabf0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.468ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r,\phi }" loading="lazy"></span> entsprechenden Punkt sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1+r^{2}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1+r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c49ea1ca21a9b798d2d1712f52fae29a10594bb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:6.942ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{1+r^{2}}}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\frac {1}{1+r^{2}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {1}{1+r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a333fab2d4922e527c10d5099908ad9e7cb0b99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:8.75ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {1}{1+r^{2}}}}" loading="lazy"></span>, die <a href="Mittlere_Kr%C3%BCmmung" title="Mittlere Krümmung">mittlere Krümmung</a> ist also in jedem Punkt null, die Wendelfläche ist eine <a href="Minimalfl%C3%A4che" title="Minimalfläche">Minimalfläche</a>.

</p><p><a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">Topologisch</a> ist sie <a href="Hom%C3%B6omorph" class="mw-redirect" title="Homöomorph">homöomorph</a> zur Ebene.

</p><p>Lokal ist sie <a href="Isometrie_(Riemannsche_Geometrie)" title="Isometrie (Riemannsche Geometrie)">isometrisch</a> zum <a href="Katenoid" class="mw-redirect" title="Katenoid">Katenoid</a>, sie ist aber nicht zu diesem homöomorph.

</p><p>Sie ist eine <a href="Regelfl%C3%A4che" title="Regelfläche">Regelfläche</a> und eine <a href="Schraubfl%C3%A4che" title="Schraubfläche">Schraubfläche</a>. Sie lässt sich auch als <a href="Schiebfl%C3%A4che#Wendelfläche_als_Schiebfläche_und_Sehnenmittenfläche" title="Schiebfläche">Schiebfläche</a> darstellen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Praktische_und_wissenschaftliche_Bedeutung_–_Chiralität"><span id="Praktische_und_wissenschaftliche_Bedeutung_.E2.80.93_Chiralit.C3.A4t"></span>Praktische und wissenschaftliche Bedeutung – Chiralität</h2></div>

<div class="gallerytext">Chemie: (<i>P</i>)-(+)-Heptahelicen weist <a href="Helicale_Chiralit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Helicale Chiralität">Helizität</a> im Uhrzeigersinn auf.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Chemie: (<i>M</i>)-(−)-Heptahelicen weist Helizität entgegen dem Uhrzeigersinn auf.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Wendeltreppe im Vatican-Museum in Rom als Beispiel für einen schraubenförmigen Baukörper zum Vergleich. Die Symmetrie entspricht der von (<i>P</i>)-Heptahelicen</div>

</li>

<div class="gallerytext">Die Schraubendrehung dieser Kletterpflanze entspricht dem Drehsinn von (<i>M</i>)-Heptahelicen</div>

</li>

</ul>

</div>

<p>In der Natur, in der Architektur und in der Chemie gibt es zahlreiche Anwendungsbereiche für Wendelflächen. Dabei spielt die Drehrichtung (<a href="Chiralit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Chiralität (Mathematik)">Chiralität</a>) auch eine Rolle.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

<p>Die Helikoide wurde im 18. Jahrhundert von <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> und <a href="Jean-Baptiste_Meusnier_de_la_Place" title="Jean-Baptiste Meusnier de la Place">Meusnier</a> beschrieben. <a href="Eug%C3%A8ne_Charles_Catalan" title="Eugène Charles Catalan">Catalan</a> bewies 1842, dass sie neben der Ebene die einzige minimale Regelfläche ist. <a href="William_Meeks" title="William Meeks">Meeks</a> und <a href="Harold_William_Rosenberg" title="Harold William Rosenberg">Rosenberg</a> bewiesen 2005 (aufbauend auf Ungleichungen von Colding-Minicozzi), dass es nur 2 Arten von einfach zusammenhängenden Minimalflächen im <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"></span> gibt: die Ebene und die Helikoide.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Für von null verschiedenes topologisches Geschlecht fanden sich durch <a href="David_Allen_Hoffman" title="David Allen Hoffman">David Allen Hoffman</a> und Kollegen in den 1990er Jahren aber weitere Beispiele, die aus der Helicoide hervorgingen. Den Beweis, dass sie für Genus 1 eine <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständige</a> <a href="Einbettung_(Mathematik)" title="Einbettung (Mathematik)">einbettbare</a> Minimalfläche bilden, erbrachten Hoffman, <a href="Michael_Wolf_(Mathematiker)" title="Michael Wolf (Mathematiker)">Michael Wolf</a> und Matthias Weber 2009<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (davor war dies außer für den Fall des Geschlechts 0 nur für den Fall unendlichen Geschlechts bewiesen).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">William H. Meeks, Harold Rosenberg (2005). The uniqueness of the helicoid. Annals of Mathematics (2), 161 (2), 727–758, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4007/annals.2005.161.727">10.4007/annals.2005.161.727</a></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Tobias H. Colding, William P. Minicozzi (2004). The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold. IV. Locally simply connected. Annals of Mathematics (2), 160 (2), 573–615, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4007/annals.2004.160.573">10.4007/annals.2004.160.573</a></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">David Allen Hoffman, Matthias Weber, Michael Wolf: An embedded genus-one helicoid, Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 347–448 (und Proc. Nat. Acad. USA, Band 102, 2005, S. 16566–16568).</span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Helicoids?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Helicoids</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://minimal.sitehost.iu.edu/archive/Classical/Classical/Helicoid/web/index.html">Helicoid</a>: Sammlung von Bildern und Animationen (Matthias Weber, Indiana University)</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-07-26" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Wendelfl%C3%A4che&oldid=247101512">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>